瓶魔悖論與不完全信息

作者：Matrix67
原文：瓶魔悖論與不完全信息

The Bottle Imp 是一則有意思的短篇小說。某日，小說裡的主人公遇上瞭一個怪老頭。怪老頭拿出一個瓶子，說你可以買走這個瓶子，瓶子裡的妖怪就能滿足你的各種願望；但同 時，持有這個瓶子會讓你死後入地獄永受煉獄之苦，唯一的解法就是把這個瓶子以一個更低的價格賣給別人。如果你是小說裡的主人公，你會不會買下這個瓶子呢？ 你會以什麼價格買下這個瓶子呢？

以什麼價格買入這個瓶子，這個問題貌似並不容易回答。你當然不願意花太多的錢，在你的願望被滿足之前你至少還得給自己留一點錢花；但你也不能花太 少的錢，否則你會承擔著賣不出去的風險。但是，在做出一些理性的分析後，我們得出瞭一個驚人的結論：任何人都不應該以任何價格購買這個瓶子。

和很多博弈問題一樣，這一系列的分析首先從最簡單的情形開始。首先，你是絕對不能隻出 1 分錢就買下這個瓶子的，因為這樣的話這個瓶子就永遠也賣不出去瞭——沒有比 1 分錢更低的金額瞭。那麼，用 2 分錢買瓶子呢？這樣理論上貌似是可行的，但仔細一推敲你會發現還是有問題——這樣你隻能以 1 分錢賣掉這個瓶子，但沒有人會願意用 1 分錢去買瓶子（否則他就賣不掉瞭）。因此，用 2 分錢買下瓶子後，你同樣找不到下一個買傢。和上面的推理一樣，用 3 分錢買這個瓶子也不是什麼好主意，因為沒有人願意以 1 分錢或 2 分錢購入瓶子，因此你的瓶子不可能賣得掉。依此類推，你不應該以任何價錢去購買這個瓶子，因為每個人都知道，他無法以任何價格賣掉這個瓶子。

這個推理有意思就有意思在，它的結論和我們的生活直覺是相反的——花幾萬塊或者更保險的，幾百萬塊錢，去買這個瓶子，怎麼想也不會是一個如此杯具 的結果。但上述嚴格的推理為什麼會得到一個看似荒謬的結果呢？這個推理有一個很強的前提條件，這也是很多趣味博弈問題的基礎——假設每個人都是最聰明的， 他們所做的決策都是最優的；並且每個人都知道，每個人都是最聰明的，都將選擇自己的最優策略；並且每個人都知道，每個人都知道每個人是最聰明的；並且…… 這樣無限循環下去。但現實生活中，這個假設明顯不成立。或許每個人都絕頂聰明，但這一點並不是所有人都知道；即使所有人都知道，也不是每個人都知道所有人 都知道。這就是所謂的不完全信息，它會對整個遊戲的結果造成根本性的影響。

聽一個朋友說，他在某堂經濟學課上玩瞭一個非常有趣的遊戲，那堂課的教授通過這個遊戲完美地詮釋瞭不完全信息。教授叫每個人在小紙條上寫一個不超 過 100 的正整數，然後交給助教。由助教當場統計所有同學所寫的數的平均值，並約定所寫的數最接近平均值的 2/3 的同學將在期末考試中獲得額外的加分。例如，若所有同學所寫的數平均值為 44 ，則寫下 29 的全體同學都將在期末得到加分。如果是你，你打算寫多少？

我們來看看，如果前面那個“人人都是聰明人”等一系列假設成立，最後的結果是什麼。首先，你有理由猜測，大傢所寫的數隨機分佈在 1 到 100 之間，平均值大約在 50 上下。這樣的話，你寫下 50 的 2/3 ，即 33 ，應該是最合理的。且慢！不隻是你，其他人當然也都想到瞭這一點，他們都會發現寫下 33 是更好的選擇。這樣，你寫下 22 便成為瞭一個更好的選擇。不過，別人也會和你一樣想到這一步，進而所有人都會考慮寫下 22 的 2/3 也即 15 ……這樣推下去，最後的結果是，所有人都會發現寫下數字 1 是最好的結果。而事實上，這個結果也確實是最好的——在這種情況下所有人都將獲勝，每個人都能得到期末加分。

能上這課的人固然不笨，並且大傢或許也都清楚這一點。更有意思的是，後來的調查發現，當時的課堂上有很大一部分人以前就知道這個遊戲，並以智力題 的形式見過上面的分析。但真正敢寫“1”的人幾乎沒有，因為信息是不透明的，你不知道別人能夠想到多遠，也不知道有沒有寫 100 的大傻子，也不知道有沒有內鬼，等等。

在 The Bottle Imp 的例子中，情況也相同——誰也不知道，有沒有傻子來打破上面那個賣不出去的推理鏈條。更有趣的是，小說 The Bottle Imp 的情節本身還考慮到瞭另外一些非常機智的轉折。可能會出現一些對許願瓶上瞭癮、根本不在乎入地獄的人，他或許不相信有地獄，或許已經犯過不可饒恕的滔天大 罪，覺得自己反正都得下地獄。還有這麼一種可能：有人發現即使你用 1 分錢買下瞭這個瓶子，這也不是完全無解——你可以把瓶子賣掉其它國傢去。由於匯率的原因，在其它國傢裡你或許能找到比 1 分錢更低的價格。這樣賣瓶子是否合法並不重要，隻要有人相信他是合法的就夠瞭。他的存在，或者有人相信有這樣的人的存在，或者有人相信有人相信有這樣的人 存在，都足以打破上面的那個推理鏈條。